Demo 5：人形平均场计算机恢复噪声图片
把每个像素想成一名学生：教师先给每人一张带噪观测卡 yᵢ（黑卡=+1，白卡=-1），学生再把观测卡和上下左右邻居上一轮报告的均值 mⱼ 合起来，按同一条公式同步更新自己的信念 mᵢ。目标是从带噪观测卡 y 恢复隐藏二值图片。
+1：黑色-1：白色m≈0：不确定红框：被翻转观测输出：q(+1)>0.5 则答 1
四栏课堂黑板：真实图、观测卡、当前信念、学生输出
真实干净图 x★
带噪观测 y
当前平均场信念 m(t)
学生输出答案 a(t)
黑 = +1白 = -1灰 = 不确定红框 = 观测被翻转输出 1 = q(+1)>0.5输出 0 = q(+1)≤0.5
课堂操作指导语：教师和学生分别做什么
- 教师准备真实图片。先选择一张黑白小图，例如默认的粗 L。真实隐藏像素记为 xᵢ★∈{-1,+1}：黑色是 +1，白色是 -1。
- 教师发观测卡。每个学生拿到一张观测卡 yᵢ，大多数时候 yᵢ=xᵢ★，但其中一组固定位置被翻转。默认 8×8 时，每个图案固定翻转 13 个像素（约 20%），这些位置是预先搜索出来、适合展示恢复的噪声类型。红框格表示这个观测卡其实被翻错了；课堂真实操作时学生不知道红框，只知道自己手里的 yᵢ=+1 或 yᵢ=-1。
- 初始化。默认每个学生先把自己的观测卡变成初始信念：mᵢ(0)=tanh(γyᵢ)。若选“mᵢ(0)=0”，则表示学生一开始完全不确定，只在第一轮才使用观测和邻居信息。
- 报告阶段。第 t 轮开始时，每个学生只向上下左右邻居报告旧值 mᵢ(t)。不要报告刚算出来的新值。
- 计算阶段。学生 i 把收到的旧邻居值相加：Sᵢ(t)=Σⱼ∈N(i)mⱼ(t)，再算局部场 hᵢ(t)=γyᵢ+wSᵢ(t)。
- 同步写入阶段。全班同时把新信念写成 mᵢ(t+1)=tanh(hᵢ(t))。下一轮开始前，任何人都不能把新值继续传给邻居。
- 读出图片。把信念转成输出概率 qᵢ(+1)=(1+mᵢ)/2。若 qᵢ(+1)>0.5，学生输出 1 并举黑卡；否则输出 0 并举白卡。右侧“恢复正确率”用这个 1/0 输出读出结果。
同步更新诊断
迭代轮数
0
本轮只读上一轮邻居值
观测正确率
—
y vs x★
恢复正确率
—
1/0 输出 vs x★
mean |Δm|
—
上一轮平均变化量
恢复提升
—
恢复率 - 观测率
同步协议：请把一轮更新拆成“报告旧值 → 求邻居和 → 算局部场 → 同时写新值”四步。所有节点先读取上一轮 mⱼ(t)，各自计算 Sᵢ(t)=Σmⱼ(t)，再同时写出 mᵢ(t+1)=tanh(γyᵢ+wSᵢ)。本轮新值不能在同一轮继续传播；这避免了座位顺序影响结果。
调参提示：默认 8×8 粗 L、γ=1.0、w=0.65 是演示恢复版，恢复效果更明显；若要课堂手算，可临时把 w 调成 0.5，此时公式变成 hᵢ=yᵢ+0.5Σmⱼ。当前只保留恢复较稳的图案。默认 8×8 时，每个图案都使用搜索得到的固定翻转 mask（13 个像素，约 20%），因此每次载入同一图案都会看到同一组观测卡。
非线性函数表
教学结论与方法对比
平均场不是精确推断；它只保存每个像素的单点均值 mᵢ。邻居影响通过平均值传播，但不保存相邻像素的联合相关。
- w 太大：边界会被过度平滑。
- γ 太大：系统会过度相信带噪观测。
- 噪声强或图片细节太细时，平均场可能恢复失败；课堂演示保留粗 L、实心圆、三角形、菱形、爱心、小鱼、粗 T、粗 1、十字路标、块状门牌底色和马克杯这类恢复较稳的图案；细线、人脸、笑脸/哭脸等稀疏特征已从 preset 中删除。
- 平均场：每个节点只报一个数 mᵢ；Tree approximation：删除部分边，在保留的树上做精确 sum-product；Bethe / loopy BP：每条边上传递二值消息或维护局部 belief，更保留相关，但课堂手算负担更大。