Demo 4：MH 双峰穿越

MH 算法用"提议-接受/拒绝"机制探索目标分布。调节提议步长 σ：太小则困在一个峰，太大则接受率很低，只有适中的 σ 才能在两个峰之间有效跳跃。

目标： p̃(x) = exp(−(x−3)²/2) + 0.5·exp(−(x+1)²/(2·0.5²))  |  提议： q(x'|x) = N(x, σ²)  |  接受率： α = min(1, p̃(x')/p̃(x))  |  - - - 提议分布 q(x'|x)
目标分布 p(x) 与当前/提议位置
轨迹图（链位置 vs 迭代步数）
样本直方图 vs 真实密度
控制面板
提议步长 σ： 1.0
速度： 慢
观察提示
步骤详情
点击"下一步"开始 MH 采样…
统计量
0
总步数
0
接受
0
拒绝
—
接受率
0
跨峰跳跃
—
样本均值
—
样本方差
认知科学映射

双峰分布对应知觉中的多稳态现象——例如 Necker 立方体可以被感知为两种不同方向的三维结构。MH 链在两个模式之间的跳跃，类比大脑对两种竞争性感知解释的周期性切换。接受概率 α 决定切换频率，而切换频率反映了两个解释的相对后验支持度。σ 太小对应"注意力窄化"（只关注当前解释），σ 太大对应"注意力涣散"（随机跳跃但难以稳定）。

文献与案例意图

对应章节：§MH + 例题 3；对应文献：Metropolis1953；Gershman2012Multistability。

完整引用：

  1. Metropolis, Nicholas, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller, and Edward Teller. 1953. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics 21(6): 1087–1092. https://doi.org/10.1063/1.1699114.
  2. Gershman, Samuel J., Edward Vul, and Joshua B. Tenenbaum. 2012. Multistability and perceptual inference. Neural Computation 24(1): 1–24. https://doi.org/10.1162/NECO_a_00226.

案例想表达的想法： 这个双峰 MH demo 把物理学中的接受规则和知觉多稳性放在同一张图里：算法上，接受概率保证链长期访问目标分布；心理学上，链在两个峰之间的停留与跳跃可以类比竞争性知觉解释的驻留和切换。学生应看到，σ 不是单纯技术参数，它决定局部探索、拒绝率和跨峰转换之间的平衡。