知识是几何的，还是代数的？

晚饭时和一位本科学数学的同事聊起物理系和数学系的本科教学。我们意外发现：数学系约有 80% 的课程围绕代数结构展开，而物理系却更强调几何直觉——例如用“场”的概念来理解那些其实可以被代数表达的动力学方程。

这引发了一个有趣的问题：
知识的本质，是几何的，还是代数的？

我们从婴儿的行为开始思考。观察一个婴儿如何与世界互动，会发现他们的认知方式似乎天生偏向几何。他们活在一个立体的、连续的空间中，看到书本上的图片，第一反应是伸手去触摸，仿佛要将二维图案“揉成”三维实体。他们用身体与世界建立空间关系，而非操作抽象符号。

而反观人类的教育系统，尤其是数学教育，却是高度代数化的：从认识数字、学习加减乘除，到函数、不等式，再到大学阶段的微积分与线性代数。几何，反倒只是其中的一个模块，而非主干。

这似乎在暗示：我们天生以几何方式感知世界，却后天以代数方式传递知识。

从更广义的角度来看，智能体的“初始知识”或许就是几何式的：连续的空间感知、方向感、距离判断——这些可能作为某种先验结构，被“刻入”基因。而代数，则是我们在知识传承的过程中，为了高效、稳定、可重复地编码信息而发展出的人工语言。

如果我们的神经系统中存在知识的表征机制，那么它们的形式会是几何的，还是代数的？

认知神经科学中已经出现一些初步的线索。例如：

  • 认知图谱（Cognitive Map）
    Behrens 等人（2018）提出，大脑通过低维的“地图结构”来组织概念之间的关系。这是一种几何化知识表征：概念之间的“距离”在空间中是有意义的，学习就是在图谱中定位与导航。

  • 贝叶斯大脑（Bayesian Brain）
    Pouget 等人（2013）则认为，大脑通过神经活动实现了某种形式的贝叶斯推理。这种模型强调代数式的计算过程，通过概率密度函数与条件概率来进行信息更新。

这两种模型，分别代表了**知识几何化（spatialized）与知识代数化（formalized）**的两种路径。

进一步设想：我们是否可以在跨物种的神经研究中发现类似证据？比如，非人灵长类动物是否更依赖几何直觉进行认知，而人类则在学习过程中逐步将其转化为代数结构？或者，更激进地说——代数只是知识在历史中得以存续的一种权宜之计，而人类的思维本质上始终是几何化的。

这不禁让人联想到尤瓦尔·赫拉利在《人类简史》中对“认知革命”的定义。他认为，认知革命的标志在于人类开始讲故事、虚构概念、想象不存在的事物，由此形成了宗教、国家、商业等超个人的秩序体系。

但我们是否可以换一个角度理解这场革命？

或许，认知革命也可以被定义为：人类开始以几何与代数的方式表达知识。

几何，是对空间直觉的抽象提炼；
代数，是对逻辑结构的语言编程。
故事使我们联结，代数使我们传承，几何使我们理解。

如果真是如此，当脑机接口技术日益成熟，我们是否可以跳过代数的中介，直接通过几何方式传输知识？
知识的表达方式，是否也有技术史？

参考文献：